3. Modelos Físicos Específicos: Resortes y Péndulos

El Sistema Masa-Resorte

Este modelo consiste en un cuerpo de masa (m) acoplado a un muelle elástico caracterizado por su constante de rigidez (k). La constante k mide cuánta fuerza se requiere para deformar el resorte. Al estirarse o comprimirse, el muelle exhibe elasticidad, recuperando su forma original tras cesar la fuerza externa.

Para este sistema, la frecuencia angular depende estrictamente de la relación entre la rigidez y la masa. Sus ecuaciones particulares son:

Frecuencia Angular:

Frecuencia Natural:

Posición particular:

Velocidad particular:

Aceleración particular:

El Péndulo Simple:

Es un sistema idealizado compuesto por una masa puntual suspendida de un punto fijo a través de una cuerda ligera, inextensible y de longitud (L) que oscila en un único plano vertical.

A diferencia del resorte, la fuerza restauradora es provista por la componente horizontal de la gravedad (w horizontal = -m g sin𝛉).

La componente vertical del peso (w vertical = m g cos𝛉) se equilibra perfectamente con la tensión de la cuerda.

La ecuación diferencial rigurosa que modela la aceleración angular respecto a la longitud de arco (s = L*𝛉) es (d^2 𝛉)/(dt^2) = -g/L sin𝛉. Sin embargo, si se aplica la aproximación de ángulo pequeño (para desplazamientos menores a 15°, donde el valor de sin𝛉 ≈ 𝛉 en radianes), la ecuación se linealiza a (d^2 𝛉)/(dt^2) = -g/L 𝛉. Bajo esta condición de pequeña amplitud, el péndulo se comporta exactamente como un oscilador armónico simple.

Las ecuaciones del péndulo bajo las aproximaciones del MAS establecen que el periodo y la frecuencia no dependen de la masa, sino únicamente de la longitud de la cuerda y de la gravedad local:

Frecuencia Angular:

Periodo de Oscilación:

Longitud de la cuerda de un péndulo:

Posición Angular: Donde el ángulo describe el desplazamiento respecto a la vertical.

Velocidad Angular:

Aceleración Angular: